この時期に理解していないとまずい！？ 二次関数の問題！！

いくら勉強が苦手って言っても、さすがに二次関数は出来るよって思うかもしれない。

でも、実際これから紹介する二次関数の問題を完璧に理解していない受験生が結構いるのも事実なんだよね。頭の良い受験生ならそんな問題出来て当然だって思うかもしれないけど、今一度復習をしてほしいと思う。

とりあえずまずは自力で問題を解いてみてほしい。

それでは問題を紹介するよ。

Pは実数、f(x)=x^2-2px+p とする。

(1)　0≦x≦1　におけるf(x)の最小値m(p)を求めよ。

(2)　0≦x≦1   におけるf(x)の最大値M(p)を求めよ。

※　^2 は２乗を表しています。

どうかな？　思ったよりも簡単そうな問題でがっかりしたかな？

それとも、”どうやって解くんだっけ？”　って思ったかな？　余裕でしょ！！って

思った君は二次関数の基礎が身についているから大丈夫だね。

”どうやって解くんだっけ”って思った君も大丈夫。この機会に完全にマスター

しちゃおう。それでは次から解説をしていくよ。

 まずは与式を平方完成する。ここまでは誰でも出来ると思う。

f(x)= (x-p)^2-p^2+p

軸x=p , 頂点(p,-p^2)

ここからどうやるんだ？って思った人もいるんじゃないかな？

まずXの範囲が与えられているので、軸pを場合分けしてみる。

(1)

(ⅰ)　p ＜ 0 のとき  

まず初めに上の図のように、軸が範囲よりも左側、つまりpが0より小さいとき

を考える。図を見るとx=pのとき最小値をとることが分かるよね。緑の丸のところが

最小値になっているよ。

x=0　のとき最小値m(0)= p

(ⅱ)　0≦p≦1のとき

次に上の図のように軸が範囲０≦ｘ≦１の中にあるとき、つまり０≦ｐ≦１のときを考える。この時はx=pのとき最小値を取ることが分かるよね。緑の丸のところが最小値になっているよ。

x=p  のとき最小値m(p)=-p^2+p

(ⅲ)   1＜pのとき

最後に上の図のように軸が範囲より右にあるとき、つまりpが1より大きいとき

を考える。この時はx=1のとき最小値を取るのが分かるよね。緑の丸のところ

が最小値になるよ。

x=1　のとき最小値m(1)=-p+1

以上(ⅰ)～(ⅲ)をまとめると

p ＜ 0 のとき　m(0)= p

0≦p≦1 のとき　m(p)=  -p^2+p

1＜ pのとき　m(1)= -p+1

となるね。

どうかな？　解けたかな？　解けた人はもう身付いているから復習はしなくていいよ。

解けなかった人は、人に説明できるようになるまで復習してみよう。

次は(2)の解説をしていくよ。

(2)

まず最大値を考えるとき、最小値とは違い２つの場合で場合分けします。

最大値を考える場合は、範囲の真ん中の数を基準に軸が右にあるか、左にあるかで

場合分けをして考えます。

(ⅰ)  p≦1/2のとき

この問題で与えられている範囲の真ん中の数は1/2であるから、まず初めは

軸pが1/2より左にある時、つまりpが1/2より小さいときを考える。このとき

x=1のとき最大値を取ることが分かるよね。最大値は水色の丸のところだよ。

x=1のとき　M(1)=-p+1

(ⅱ)  1/2≦pのとき

次に軸pが1/2より右にある時、つまりpが1/2より大きいときを考える。

このときx=0で最大値を取ることが分かるね。最大値は水色の丸の部分だよ。

x=0とき　最大値M(0)=p

以上(ⅰ)～(ⅱ)をまとめると

p≦1/2のとき  M(1)=-p+1

1/2≦pのとき  M(0)=p

全部解くことが出来たかな？

この問題は軸が変数になっており、与えられた範囲において軸の場所を

場合分けして解く問題です。結構マーク模試とかで出てくる問題だから

模試を見直してみるといいよ。

次回も二次関数の問題を紹介するよ。

また質問などがあったら是非コメントしてほしい。

勉強が苦手な受験生へ！！ 勉強の基礎をマスターして偏差値を爆上げしよう！！

 今日から受験生が見落としがちな所の問題や知識などを紹介していきたいと思います。

はじめに当ブログの執筆者　わっしょいの自己紹介をします。

某国立大学　理系　三年

高校在学時得意科目　数学　物理

高校での模試の偏差値　・高２マーク　２月　偏差値    43　

　　　　　　　　　　　・高３記述　　４月　偏差値    46 (数,英,物)

                                        ・高3マーク　  6月　偏差値     46

　　　　　　　　　　　・高３記述　　８月　偏差値    55(数,英,物)

                                        ・高3マーク　 ９月　偏差値　55

                                        ・高3記述　 １０月   偏差値　56(数,英,物)

                                        ・高3マーク １１月　偏差値   57

                                        ・高3記述　 １２月　偏差値   61

                                        ・高3マーク １２月　偏差値   65 　

僕の模試の偏差値の推移を見てもらって分かる通り、高２の２月時点の成績では

国立大学なんてとてもじゃないけど無理でした (笑)

その時、今まで定期テストの前だけ必死に勉強していた僕は、初めて

  "勉強しないとヤバいな...(;'∀')"

と思ったんですね。このブログを偶然目にしたそこの受験生も同じ経験がある人も

多いはず(笑)

その日からは本気で勉強しようと思ったよね。今まで勉強やってこなかったせいで

何から始めていいか全然分からなかったから、とりあえず学校から貰ったテキストを

やったよね。ちょっと難しくなると全然問題が解けないから、答え見ながら解いて理解した気でいたんだよね。

何だかんだで高3になって初めての記述模試までその勉強方法で頑張ってみたよね。

我ながらここまでやったからせめて偏差値５０は超えると思ってテストに挑んだんだよ。

結果は前述の通り、偏差値４６だった。　結果を見たら頑張った2カ月が全部意味なかったように感じたよね。もうどうすればいいか分からなかったから、仲が良かった

数学の先生に相談してみたんだ。

まずどんな勉強の仕方をしてるか話したら先生は　”その方法じゃ絶対成績上げるなんて

無理。まずは勉強の方法から変えないとどうでもいい私大しか受かんねーぞ。”

と言われました。

その日から先生に言われた通りの方法で勉強し始めました。その方法のまま2カ月間勉強して、６月のマークを迎えた。まあ結果は芳しくなかったよね。

マーク模試が終わった後に先生のところに行き、どうだったか報告に行ったんだ。

そしたら　”まあ今はそんなもんだろ。成績何てすぐに上がるなんて考えない方が

いいぞ。水をコップにいれるのを想像してみ。コップにどんどん水をいれていって

コップいっぱいに水が入った時溢れるだろ？　成績もそれと同じなんだよ。今は

基礎を勉強して、水をいれてる状態なんだ。その水(知識)が溢れ始めたとき成績は上がってくんだよ”と言われた。

先生に言われた言葉を信じて夏休み中ずっと勉強を頑張った。そしたら徐々に成績

が上がり始めて最後には偏差値が６０を越えることが出来たんだよね。

勉強が苦手な受験生は、僕みたいにどう勉強していったらいいか分からない人も多いと思うんだ。そんな受験生に対して少しでも役に立つ知識とか勉強の方法をこのブログでは書いていきたいと思う。