この時期に理解していないとまずい！？ 二次関数の問題！！

いくら勉強が苦手って言っても、さすがに二次関数は出来るよって思うかもしれない。

でも、実際これから紹介する二次関数の問題を完璧に理解していない受験生が結構いるのも事実なんだよね。頭の良い受験生ならそんな問題出来て当然だって思うかもしれないけど、今一度復習をしてほしいと思う。

とりあえずまずは自力で問題を解いてみてほしい。

それでは問題を紹介するよ。

Pは実数、f(x)=x^2-2px+p とする。

(1)　0≦x≦1　におけるf(x)の最小値m(p)を求めよ。

(2)　0≦x≦1   におけるf(x)の最大値M(p)を求めよ。

※　^2 は２乗を表しています。

どうかな？　思ったよりも簡単そうな問題でがっかりしたかな？

それとも、”どうやって解くんだっけ？”　って思ったかな？　余裕でしょ！！って

思った君は二次関数の基礎が身についているから大丈夫だね。

”どうやって解くんだっけ”って思った君も大丈夫。この機会に完全にマスター

しちゃおう。それでは次から解説をしていくよ。

 まずは与式を平方完成する。ここまでは誰でも出来ると思う。

f(x)= (x-p)^2-p^2+p

軸x=p , 頂点(p,-p^2)

ここからどうやるんだ？って思った人もいるんじゃないかな？

まずXの範囲が与えられているので、軸pを場合分けしてみる。

(1)

(ⅰ)　p ＜ 0 のとき  

まず初めに上の図のように、軸が範囲よりも左側、つまりpが0より小さいとき

を考える。図を見るとx=pのとき最小値をとることが分かるよね。緑の丸のところが

最小値になっているよ。

x=0　のとき最小値m(0)= p

(ⅱ)　0≦p≦1のとき

次に上の図のように軸が範囲０≦ｘ≦１の中にあるとき、つまり０≦ｐ≦１のときを考える。この時はx=pのとき最小値を取ることが分かるよね。緑の丸のところが最小値になっているよ。

x=p  のとき最小値m(p)=-p^2+p

(ⅲ)   1＜pのとき

最後に上の図のように軸が範囲より右にあるとき、つまりpが1より大きいとき

を考える。この時はx=1のとき最小値を取るのが分かるよね。緑の丸のところ

が最小値になるよ。

x=1　のとき最小値m(1)=-p+1

以上(ⅰ)～(ⅲ)をまとめると

p ＜ 0 のとき　m(0)= p

0≦p≦1 のとき　m(p)=  -p^2+p

1＜ pのとき　m(1)= -p+1

となるね。

どうかな？　解けたかな？　解けた人はもう身付いているから復習はしなくていいよ。

解けなかった人は、人に説明できるようになるまで復習してみよう。

次は(2)の解説をしていくよ。

(2)

まず最大値を考えるとき、最小値とは違い２つの場合で場合分けします。

最大値を考える場合は、範囲の真ん中の数を基準に軸が右にあるか、左にあるかで

場合分けをして考えます。

(ⅰ)  p≦1/2のとき

この問題で与えられている範囲の真ん中の数は1/2であるから、まず初めは

軸pが1/2より左にある時、つまりpが1/2より小さいときを考える。このとき

x=1のとき最大値を取ることが分かるよね。最大値は水色の丸のところだよ。

x=1のとき　M(1)=-p+1

(ⅱ)  1/2≦pのとき

次に軸pが1/2より右にある時、つまりpが1/2より大きいときを考える。

このときx=0で最大値を取ることが分かるね。最大値は水色の丸の部分だよ。

x=0とき　最大値M(0)=p

以上(ⅰ)～(ⅱ)をまとめると

p≦1/2のとき  M(1)=-p+1

1/2≦pのとき  M(0)=p

全部解くことが出来たかな？

この問題は軸が変数になっており、与えられた範囲において軸の場所を

場合分けして解く問題です。結構マーク模試とかで出てくる問題だから

模試を見直してみるといいよ。

次回も二次関数の問題を紹介するよ。

また質問などがあったら是非コメントしてほしい。