これさえ解ければ大丈夫！！ センター数Ⅰの第１問をマスターしよう！！（二次関数編）
前回は、二次関数の問題で軸の場所を場合分けして解く問題をやりました。
上に前回の分のURLを貼っておくので、前回の分を見ていない人は是非見てみてください(/・ω・)/
さて今回も二次関数の問題を紹介します。この辺の分野はもう分かるからいいって
人もいると思うけど、復習だと思って目を通してみてね。
前回やった軸を場合分けする問題と今回の問題で、センターレベルの二次関数は
解けるようになるんじゃないかな。
それでは問題を紹介していきます。
aは実数、f(x)=x^2-1 とする。a≦x≦a+1 におけるf(x)の最小値m(a)、最大値M(a)を求めよ。
この問題が前回の問題と違うところは、与式にx以外の変数が用いられていない、
与えられている範囲に変数aが使われているところだね。前回は軸を動かして考えたけ
ど、今回は軸はｙ軸に固定されるよね。
でも、範囲に変数aが使われているから、軸を固定して範囲を動かして考えてみれば良さそうだね。つまり変数aを場合分けして考えてみよう。
それでは解説していくね。
m(a)について
(ⅰ) a+1＜ 0
すなわち a ＜ -1 のとき
最初は範囲が軸の左側にある時を考えているよ。範囲の大きい方、つまり a+1が
軸よりも小さければよいということだね。図を見てみると、範囲の中で最少となるところは緑の点のところ(a+1)だと分かるね。
以上より、 m(a) = f(a+1) = a^2+2a
(ⅱ) a≦0≦a+1(各項に-aをかけて計算すると下の範囲が求まる)
すなわち -1≦a≦0のとき
次に範囲の中に軸がある時を考える。これは図を見ても明らかなように
最小値はx = 0の時ということがすぐに分かるね。緑の点のところが最小値の点だよ。
以上より、 m(a) = f(0) = -1
(ⅲ) 0＜a のとき
最後は、範囲が軸よりも右にある時を考えます。この時は、範囲の小さい方、つまり
aが軸の0よりも大きければいいので 0＜ aとなります。最小になるところは図の緑の
点のところだよ。
以上より、m(a) = a^2-1
(ⅰ)～(ⅲ)をまとめると
a ＜ -1 のとき m(a) = a^2+2a
-1≦a≦0 のとき m(a) = -1
0 ＜ a のとき m(a) = a^2-1
となるよ。とりあえず最小値の説明はここまでだよ。今回の考え方は重要だから
理解していなかった人は是非マスターしてほしい。さぁ、最大値の説明を始めるよ。
最大値は前回も説明したように、範囲の真ん中の値を基準にしてそれより右に
軸があるときと、左にある時で場合分けして考えてみよう。今回の範囲の真ん中の
値は、a+1/2 だね。
M(a)について
(ⅰ) a+1/2≦0
すなわち a ≦ -1/2 とき
まずは、範囲の真ん中の値が軸のx=0よりも左側にある時を考えます。
この時、図の水色の点のところが最大値となるのが分かるね。
以上より、M(a) = a^2-1
(ⅱ) 0＜a+1/2
すなわち -1/2＜a のとき
次に、範囲の真ん中の値が軸x=0よりも右側にある時を考えます。この時
図の水色の部分の点が最大値となることが分かるね。
以上より、M(a) = a^2+2a
(ⅰ)と(ⅱ)をまとめると
a≦-1/2 のとき M(a) = a^2-1
-1/2＜a のとき M(a) = a^2+2a
となるよ。前回もやったけど、最大値を考えるときは最小値の時みたいに
３つ場合分けする必要はないからね。範囲の真ん中の値を基準に右にある時と
左にある時で場合分けすることを覚えておこう。
今回の問題はどうだったかな？ ”もう二次関数の問題はいいよ”
って言いたいかな？ｗｗ そのぐらい言える君は、もう二次関数は完ぺきにマスター
していると思うから 模試で出てきたら確実に満点を取ろうね( ｀ー´)ノ
次回は、僕が実際に行っていた暗記とか復習の方法を教えるね。
この暗記、復習方法は自分で思いついたんだけど、一番覚えられたし簡単に誰でも
出来る方法だから是非次も見てくれると嬉しいです。
