数Ⅰの基本問題をマスターしよう！！ 全部解けるかな？？ 続

今回は前回の最後の問題三角比の問題の式変形で解くやり方の解説からしていくよ。

前回の問題を解いていない人は、下のリンクから前回の分を見てみてね('ω')ノ

数Ⅰの基本問題をマスターしよう！！ 全部解けるかな？？ - engineeringwassyoiの日記

では前回の続きをやっていくよ。

まず与式から、

となるのは分かるよね。ここから左の式と右の数をそれぞれ二乗します。そうすると

のようになるね。ここで sin^2θ+cos^2θ = 1 を変形して sin^2θ = 1-cos^2θ を上の式に代入します。代入した式は次のようになるよね。

ここから左辺の分数を変形するよ。

 上の式のように変形したら、後は式をまとめれば解くことができるよね。

ここまできたら後は前回やったやり方で解けるよね。公式を覚えてなくてもこの方法で解けるってことも覚えておいてほしいな(^O^)

余談だけど、sin^2θ+cos^2θ = 1 の証明って出来るかな？　出来そうな気もするけど、やったことない人のほうが多いんじゃないかな！！

そんな人たちのために証明の方法を一つ紹介するね。これは覚えなくてもいいので、”へー、そーやってやるんだ”程度に見てね。

僕が紹介する方法は、三平方の定理を使った証明を紹介する。

まず下の図のような直角三角形を考えてみて。

今回の三角形において三平方の定理を用いると　BC² + AC² = AB² ・・①　が成り立つよね。ここで①の両辺を AB²で割ってみよう。そうすると

(BC/AB)² + (AC/AB)² = 1・・・②　なるのが分かるよね。ここで、②の左辺に注目してみよう。図形から BC/AB = sinθ  AC/AB = cosθ と出来るのが分かるかな？

それぞれ②の式に代入すると　sin^2θ+cos^2θ = 1 が成り立つね。今回は三平方の定理から導くことが出来ることを紹介したけど、他にも方法があるから知りたい人は調べてみてね。

次は今回出題する中では、一番難しい問題だよ。これが解けたら日東駒専レベルの数学の小問なら余裕？で解けるんじゃないかな('ω')　それじゃあ紹介していくね。

sinθ + cos = 1/2 のとき、sin^3θ+cos^3θ , tanθ+1/tanθ の値を求めよ。

解ける人は、すぐにどうすれば解けるか分かっちゃうんじゃないかな。解き方が分からなくても、少し自力で考えてみようね(∩´∀｀)∩

それじゃあ解説をしていくよ。

まず最初に、与式の sinθ + cosθ = 1/2 の両辺を二乗しよう。   するとsin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ = 1/4となるよね。ここでsin^2θ+cos^2θ = 1より、

上の式は、1+2sinθcosθ = 1/4となる。この式より、sinθcosθ = -3/8と計算できるね。

よって、sin^3θ+cos^3θ = (sinθ+cosθ)^3 - 3sinθcos(sinθ+cosθ) より　

(与式) = (1/2)^3 -3×(-3/8)×(1/2) = 1/8+9/16 = 11/16

これで一つ目は解けたよ。どうかな？　これを見ている人みんなが解けていると嬉しいな( ｀ー´)ノ

さぁ、次にいくよ。

次は tanθ = sinθ/cosθ を与式に代入すれば解けるよ。下に解答を載せるね。

 

どうだったかな？　出来なかった人は良く復習しといてね。次回は、数Aの場合の数の問題を紹介しようと思ってます！良かったら次回も見てね( *´艸｀)